R1だけどS2じゃない代数多様体

$f \colon X \to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ をハーツホーンに載ってる捩れ3次曲線の族とする．つまり，$\pi^{-1}(t)=X_t$ としたとき，$t \neq 0$ なら $X_t \simeq \mathbb{P}^1$ で，$X_0$ は被約化 $(X_0)_\mathrm{red}$ が結節点つきの平面3次曲線となるものとする．$(X_0)_\mathrm{red}$ の特異点を $p$ とすれば，$X_0$ は $p$ に埋没点を持つ．

$X$の特異点は $p$ のみである．正規化を $\nu \colon Y \to X$ とすれば，$Y$ は $\mathbb{A}^1$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束，すなわち $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{A}^1$ に同型である．自然な射影を $g \colon Y \to \mathbb{A}^1$ としておく．特に $X$ は非正規だが余次元1で非特異な代数多様体である．

$X_0$ は $X$ の Cartier 因子である．以下の写像を考える：
\[\alpha \colon \mathrm{CaDiv } (X) \to Z_1(X). \]
この写像は常に$X$が余次元1で非特異なら定義できる．
定義より $X_0$ は $(X_0)_\mathrm{red}$ に移る．
しかし $(X_0)_\mathrm{red}$ は $X$ の有効 Cartier 因子ではない．

要するに， $X$ が $S_2$ 条件を満たさないとき，素因子 $D$ が $\alpha$ の像にあるからといって， $D$ は有効 Cartier 因子とは限らない．

ううう

午前から色々やる事あったのに死んでた．少し忙しいと駄目になってしまうのをどうにかしたい…

家で寝て，久しぶりにイヤホンとかCDとかレコードとかいろいろ買った．ネットで．

久しぶりに更新するついでに，恥ずかしい投稿を消した．どうせ誰も見てねえけど…

あと，メキシコで反エモ集団が居るってのでウケた

http://wired.jp/2008/04/02/%E3%83%A1%E3%82%AD%E3%82%B7%E3%82%B3%E3%81%A7%E3%80%8C%E5%8F%8D%E3%82%A8%E3%83%A2%E3%80%8D%EF%BC%9A%E9%9F%B3%E6%A5%BD%E9%9B%86%E5%9B%A3%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E3%81%8C%E6%8B%A1%E5%A4%A7/

間違えて \mathbb{\Gamma} と打ってタイプしたら \lvertneqq $\lvertneqq$ が出て来てビビるなど

2次式を無限に計算したけど何の意味もなかった時の虚無感ヤバいな…

当たり前だけど，一般の多項式の有理数解を求めるの糞むずいわ

ノルム写像

$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ の可逆元は，ノルム写像
\[N \colon \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] \ni a+b\sqrt{-1} \mapsto a^2-b^2 \in \mathbb{Z}\]
をみると，$\alpha \in R^{\times} \iff N(\alpha) = \pm 1$ となり，$\pm 1,\pm \sqrt{-1}$ であるとすぐわかってしまう．

また，例えば $A=\mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^5)$ を考えると，ノルム写像
\[N \colon \mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^5) \ni f(y)+x \cdot g(y) \mapsto f(y)-x^2 \cdot g(y)=f(y)-y^5 \cdot g(y) \in \mathbb{C}[y]\]
を考えれば，$y$ が既約元であることがわかる
(なぜなら，$\alpha,\beta \in A$ で $y=\alpha\beta$ と書けたとすれば，$y^2=N(\alpha)N(\beta)$ とかけ，後は上をみて明らかに矛盾)．

最近の状況

院試の勉強をしているのだが，わからない問題があって楽しくないので，複素解析の復習がてらForsterのLectures on Riemann Surfacesを読んでる．すげー楽しい．

今まで曲線に沿った解析接続が良くわかってないというか，もやがかかった感じだったのだが，曲線の層空間へのリフトに他ならないという事がわかってすげーすっきりした．先にそう言ってくれ．